Мы всячески пытаемся сделать наш сайт лучше, удобней, проще..
Но для этого нужны немалые средства.
Поэтому, если Вы желаете помочь нам, бросьте монетку нашей хрюше:
Она обязательно скажет вам спасибо!:)
Администрация благодорит вас за помощь!
Обыкновенной дробью называется число вида
где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n – её знаменателем.
Если n = 1, то дробь имеет вид
и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.
Две дроби
и называются равными, если
Например,
так как
Из этого определения следует, что дробь
равна любой дроби вида
где m – натуральное число. В самом деле, так как
то Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.
Основное свойство дроби
Если
числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и
то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной.
С
помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой
дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая
замена называется сокращением дроби. Например,
(здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на
2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её
числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же
числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить
нельзя, например,
– несократимая дробь.
Обыкновенная дробь
называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя, то есть m < n. Обыкновенная дробь называется неправильной, если её числитель больше её знаменателя, то есть m > n.
Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например,
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например,
Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно
преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми.
Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.
Модель 1.6.
Сравнение обыкновенных дробей
Пусть, например, даны две дроби и
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим
Итак, две дроби
и
приведены к общему знаменателю:
Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит,
Следовательно,
Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби и
можно привести к знаменателю 56. В самом деле:
Понятно, что эти две дроби можно привести к любому
знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются
привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей.
В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.
Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.
Сложение.
Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно
сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть
Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно
сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано
выше.
Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то
Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к
общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.
Умножение.
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен
произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению
их знаменателей, то есть
Например,
Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом:
Например,
В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям.